Leçon 8 : le ukulélé et la basse

Les sept premières leçons ont été écrites sur une guitare six cordes en accordage standard, et presque chacune de leurs phrases reste vraie sur un ukulélé ou une basse : une classe de hauteurs est une classe de hauteurs, une triade majeure est une triade majeure. Ce qui change, c’est la carte — la grille de cordes et de cases sur laquelle les notes sont posées. Deux constantes de GA lui-même, Tuning.Ukulele et Tuning.Bass, définissent cette carte pour les deux instruments que l’on prend le plus souvent après la guitare, et elles suffisent à montrer les deux faits qu’un code taillé pour la guitare a tendance à se tromper.

• Un ukulélé est rentrant (re-entrant) : sa quatrième corde est plus aiguë que sa troisième. Le numéro de corde et la hauteur cessent de concorder.
• Une basse est accordée entièrement en quartes : elle n’a pas l’unique paire irrégulière de la guitare, si bien que chaque forme se déplace d’une corde à l’autre sans changer.

Tous les liens vers GA pointent sur le commit a826864.

dotnet run --project code/music-theory-ga/GaTheory -c Release -- l8

Les deux accordages

Les quatre cordes d’un ukulélé sont G C E A, et les quatre d’une basse E A D G, les quatre cordes les plus graves de la guitare une octave plus bas. Les cordes sont numérotées à partir de la plus aiguë, donc la corde 1 est le A sur un ukulélé et le G sur une basse.

== Tunings: the ukulele and the bass, string 1 first
string       course       GA           check
ukulele 1    A4           A4           ok
ukulele 2    E4           E4           ok
ukulele 3    C4           C4           ok
ukulele 4    G4           G4           ok
bass 1       G2           G2           ok
bass 2       D2           D2           ok
bass 3       A1           A1           ok
bass 4       E1           E1           ok

Le cours écrit chaque accordage comme une liste de hauteurs et y lit la corde n ; GA range un Tuning et l’indexe avec un Str, un objet valeur à plage bornée de 1 à 26. Les deux concordent sur les huit cordes.

Rentrant : la quatrième corde n’est pas la plus grave

Sur une guitare, la corde 6 est la plus grave et la corde 1 la plus aiguë, et les hauteurs montent de bout en bout. Un ukulélé standard ne fait pas cela. Sa quatrième corde est un G au-dessus du do central — au-dessus de la troisième corde et au-dessus de la deuxième.

== Re-entrant: on a ukulele the fourth string is not the lowest
string       course         GA             check
ukulele 1    A4 midi 69     A4 midi 69     ok
ukulele 2    E4 midi 64     E4 midi 64     ok
ukulele 3    C4 midi 60     C4 midi 60     ok
ukulele 4    G4 midi 67     G4 midi 67     ok
steps from string 4 to string 1: -7 4 5  (the negative step is what makes it re-entrant)
the low G ukulele instead:      5 4 5  (only rising: not re-entrant)

Les écarts entre cordes consécutives sont révélateurs : −7, +4, +5. Un accordage est rentrant quand les hauteurs, lues dans l’ordre des cordes, ne font ni que monter ni que descendre (Re-entrant tuning, Wikipédia). La quatrième corde aiguë du ukulélé est ce qui lui donne son son : un accord gratté n’a pas de note de basse, et la note la plus grave que l’on entend n’est pas celle sur laquelle se pose le doigt le plus bas.

Certains joueurs remontent la quatrième corde d’une octave vers le bas — le « low G » — et le ukulélé devient alors un instrument montant ordinaire. La constante de GA est la version rentrante.

Pourquoi cela compte dans le code

Tout ce qui raisonne sur un manche en supposant qu’un numéro de corde plus grand signifie une hauteur plus grave est juste sur une guitare, une basse, une mandoline et un violon, et faux sur un ukulélé, un banjo cinq cordes, un charango et un ukulélé tahitien. Cette supposition s’écrit facilement par accident, parce que sur une guitare les deux ordres coïncident.

Où GA décide quelle extrémité d’un accordage est la corde 1

GA construit son tableau de cordes dans Tuning.BuildPitchArray. Un accordage peut être écrit dans un sens ou dans l’autre, alors le constructeur devine : si la première hauteur est plus grave que la dernière, il inverse la liste ; sinon il la garde.

if (buffer[0] < buffer[^1])
{
    for (var i = 0; i < buffer.Length; i++)
    {
        result[i] = buffer[buffer.Length - 1 - i];
    }
}

Il ne compare que les deux extrémités. Sur tout accordage qui monte ou descend de bout en bout, les extrémités donnent la direction et la supposition est juste. Sur un accordage rentrant, non.

== How GA decides which end of a tuning is string 1
instrument             course           GA               check
guitar                 E4               E4               ok
ukulele                A4               A4               ok
bass                   G2               G2               ok
banjo, tenor jazz      A4               A4               ok
banjo, 5 strings       D4               G4               DIFF
banjo, C tuning        D4               G4               DIFF
GA, banjo strings 1 to 5: G4 D3 G3 B3 D4
The fifth string of a 5-string banjo is the short drone, the highest of the five, so
"string 1 is the highest" is not a definition: here GA returns the file's order, reversed.

Le ukulélé s’en tire, par chance : sa corde la plus aiguë se trouve être la dernière écrite. Le banjo cinq cordes, non. Sa cinquième corde est une courte corde de bourdon accordée sur le G au-dessus de la première corde, et l’Instruments.yaml de GA lui-même l’écrit en premier, G4 D3 G3 B3 D4. La première hauteur est plus aiguë que la dernière, donc la liste est gardée telle quelle, et GA répond que la corde 1 est le bourdon et la corde 5 la première corde — la numérotation de l’instrument, inversée.

Le problème profond est dans la documentation plutôt que dans l’arithmétique. Le commentaire de Str dit “String 1 is the string with the highest pitch”, et Tuning.AsSpan promet “highest string first”. Sur un banjo cinq cordes, aucune règle de ce genre ne peut tenir : la corde 1 est D4 et la corde 5 est G4, plus aiguë. La numérotation des cordes est un fait sur l’instrument — celle sur laquelle tombe l’index — pas un ordre de tri. Un accordage qui porte ses cordes dans l’ordre de jeu, et ne les retrie jamais, n’a rien à deviner.

Le ukulélé a le motif d’intervalles de quatre cordes de guitare

Oublions les hauteurs un instant et ne regardons que les écarts entre cordes.

== The ukulele has the interval pattern of four guitar strings
instrument               tuning                 steps between strings
guitar, strings 4 to 1   D3 G3 B3 E4            5 4 5
ukulele, low G           G3 C4 E4 A4            5 4 5
ukulele, baritone        D3 G3 B3 E4            5 4 5
guitar, strings 6 to 3   E2 A2 D3 G3            5 5 5
bass                     E1 A1 D2 G2            5 5 5
ukulele - guitar         5 5 5 5                semitones, string by string
baritone - guitar        0 0 0 0                semitones
bass - guitar 6 to 3     -12 -12 -12 -12        semitones

Trois résultats, chacun mérite une phrase.

• Les écarts d’un ukulélé sont 5 4 5 demi-tons, et ce sont aussi les écarts des cordes 4-3-2-1 de la guitare. Un ukulélé, ce sont les quatre cordes aiguës d’une guitare, montées d’une quarte juste.
• Un ukulélé baryton, ce sont ces quatre cordes exactement : D3 G3 B3 E4, différence nulle. Chaque forme d’accord que tu connais sur les quatre cordes aiguës d’une guitare est le même accord, du même nom, sur un ukulélé baryton.
• Les écarts d’une basse sont 5 5 5, et ce sont aussi ceux des cordes 6-5-4-3 de la guitare. Une basse, ce sont les quatre cordes graves de la guitare une octave plus bas.

C’est pour cela que le ukulélé paraît familier : l’unique écart irrégulier de la guitare, la tierce majeure entre les cordes 3 et 2, est aussi sur le ukulélé, entre ses cordes 3 et 2. Les formes se transportent avec leurs irrégularités intactes.

Une forme de guitare jouée sur un ukulélé

Prends les quatre cordes aiguës de l’accord de C ouvert — cases 2, 0, 1, 0 sur les cordes 4, 3, 2, 1 — et pose les mêmes doigts sur un ukulélé.

== A guitar shape played on a ukulele: the same fingers, a fourth higher
instrument               sounds                 pitch classes
guitar, strings 4 to 1   E3 G3 C4 E4            0 4 7  C major
ukulele, low G           A3 C4 F4 A4            0 5 9  F major
ukulele, re-entrant      A4 C4 F4 A4            0 5 9  F major
difference               5 5 5 5                semitones: a perfect fourth
The re-entrant ukulele plays the same four pitch classes, with its bass note an octave up.

Le même doigté, une quarte juste plus haut : une forme de C majeur devient F majeur. La troisième ligne est la plus intéressante. Sur un ukulélé rentrant, la quatrième corde est une octave au-dessus, donc la forme sonne A4 C4 F4 A4 au lieu de A3 C4 F4 A4 : les mêmes quatre classes de hauteurs, le même nom d’accord, un voicing différent, avec la fondamentale qui n’est plus en bas. Ce que la leçon 3 disait des renversements s’applique ici au niveau de l’instrument — un ukulélé rentrant n’a aucun voicing à l’état fondamental sur ses quatre cordes.

A3 C4 F4 A4

E3 G3 C4 E4

== Pitch class C on frets 0 to 12
instrument   course                             GA                                 check
ukulele      4/5 3/0 3/12 2/8 1/3               4/5 3/0 3/12 2/8 1/3               ok
bass         4/8 3/3 2/10 1/5                   4/8 3/3 2/10 1/5                   ok

Cinq C sur les douze premières cases d’un ukulélé contre six sur celles d’une guitare, et le cours et GA concordent sur tous : Fretboard prend n’importe quel Tuning et n’importe quel nombre de cases, donc new Fretboard(Tuning.Ukulele, 12) marche sans autre changement.

Un commentaire qui contredit son code

Fretboard.GetNote(int stringIndex, int fret) documente son premier paramètre comme “Zero-based string index (0 = lowest string)”, puis appelle Tuning[new(stringIndex + 1)] — et la corde 1 est la plus aiguë. L’indice 0 est la corde la plus aiguë, pas la plus grave. Le code est cohérent avec Str ; seul le commentaire est faux, ce qui est le sens le plus dangereux.

Une basse est accordée en quartes

== A bass is tuned in fourths: one shape, every pair of strings
pair             semitones    interval
bass 4-3         5            a fourth
bass 3-2         5            a fourth
bass 2-1         5            a fourth
guitar 6-5       5            a fourth
guitar 5-4       5            a fourth
guitar 4-3       5            a fourth
guitar 3-2       4            a major third
guitar 2-1       5            a fourth
Every pair on the bass is a fourth, so a shape keeps its sound on any pair of strings.
On the guitar the 3-2 pair is a major third: that one gap is what makes the shapes irregular.

Une guitare a une paire irrégulière. Les cordes 3 et 2 sont distantes d’une tierce majeure, quatre demi-tons, là où toutes les autres paires font une quarte juste. Cet unique écart est la raison pour laquelle les formes CAGED de la leçon 3 sont cinq formes différentes plutôt qu’une seule forme déplacée, et la raison pour laquelle une forme franchissant la frontière 3-2 doit être décalée d’une case.

Une basse n’a pas de paire de ce genre. Chaque intervalle est une quarte, donc une forme d’intervalle — une fondamentale et une quinte, une octave, un fragment de gamme — garde son son où qu’on la déplace, latéralement ou d’une corde à l’autre. Il en va de même pour la corde de si de la guitare sept cordes, pour AllFourthsguitar dans le catalogue de GA, et pour une basse à cinq ou six cordes.

Le ukulélé et la basse dans le catalogue de GA

Tuning.Ukulele et Tuning.Bass sont des constantes C#. GA a aussi un catalogue YAML de 1589 lignes, Instruments.yaml, avec 122 instruments et 280 accordages, et les deux ne disent pas la même chose. L’annexe A lit le fichier entier ; voici les lignes de ces deux instruments.

== The ukulele and the bass in GA's Instruments.yaml
entry                                tuning as written              read by the course
BassGuitar.Standard                  E1 A1 D2 G2                    4 pitches
BassGuitar.FiveStrings               B0 E1 A1 D2 G2                 5 pitches
BassGuitar.SixStrings                B0 E1 A1 D2 G2 C3              6 pitches
Ukulele.SopranoConcertAndTenorC      C6 G4 C4 E4 A4                 5 pitches
Ukulele.SopranoConcertAndTenorD      D6 A4 D4 F#4 B4                5 pitches
Ukulele.Baritone                     D4 G3 B4 E4                    4 pitches
Ukulele.Tahitian                     G4 G4 C5 C5 E5 E5 A4 A4        8 pitches
Ukulele.BanjoOrBanjoleteC            C6 G4 C4 E4 A4                 5 pitches
Ukulele.BanjoOrBanjoleteD            D6 A4 D4 F#4 B4                5 pitches
BassGuitarExtended.DropD             D1 A1 D2 G2                    4 pitches
BassGuitarExtended.BEAD              B0 E1 A1 D2                    4 pitches
BassGuitarExtended.Tenor             A1 D2 G2 C3                    4 pitches
BassGuitarExtended.Piccolo           E2 A2 D3 G3                    4 pitches
BassGuitarExtended.FretlessStandard  E1 A1 D2 G2                    4 pitches
BaritoneUkulele.Standard             D4 G3 B3 E4                    4 pitches
BaritoneUkulele.LowGReentrant        D4 G4 B3 E4                    4 pitches
SopraninoUkulele.Standard            D5 G4 B4 E5                    4 pitches

GA's own constants: Tuning.Ukulele = G4 C4 E4 A4 (4 strings), Tuning.Bass = E1 A1 D2 G2 (4 strings)
A ukulele has four strings: in the five C6 and D6 entries, the tuning's name, C or D, is written as a pitch.
A baritone ukulele is tuned like the guitar's top four strings, D3 G3 B3 E4; the two entries
disagree with each other and with that: D4 G3 B4 E4 and D4 G3 B3 E4.

Les lignes de basse sont toutes correctes — standard, cinq cordes, six cordes, drop D, BEAD, ténor, piccolo — et BassGuitarExtended.Piccolo, E2 A2 D3 G3, ce sont exactement les quatre cordes graves de la guitare, ce qu’est bien une basse piccolo.

Les lignes de ukulélé ne le sont pas.

• Cinq hauteurs pour un instrument à quatre cordes, quatre fois de suite. C6 G4 C4 E4 A4, c’est l’accordage correct G4 C4 E4 A4 avec C6 devant. Ce C6 est le nom de l’accordage — les joueurs de ukulélé appellent G C E A l’« accordage en C » — écrit là où va une hauteur, et il s’analyse comme le C deux octaves au-dessus du do central. La même erreur a produit D6 A4 D4 F#4 B4, et les deux sont répétées pour le banjolélé. Ce n’est pas limité au ukulélé : les deux accordages de la pedal steel guitar commencent par C6 et E9, qui sont aussi des noms d’accordages, C6 et E9 étant les deux configurations standard de pedal steel.
• Un ukulélé baryton dans la mauvaise octave, deux fois, différemment. Un baryton est accordé D3 G3 B3 E4, les quatre cordes aiguës de la guitare. Ukulele.Baritone dit D4 G3 B4 E4 et BaritoneUkulele.Standard dit D4 G3 B3 E4 : deux entrées pour un seul instrument, en désaccord entre elles et plaçant toutes deux le D une octave trop haut.
• Un nom qui se contredit lui-même. BaritoneUkulele.LowGReentrant, “Re-entrant (dGBE)”, c’est D4 G4 B3 E4. Low G et rentrant sont des contraires : un low G, c’est ce vers quoi on réaccorde un ukulélé rentrant précisément pour qu’il cesse de l’être.

Rien de tout cela n’atteint un programme qui demande à GA un accordage de ukulélé, parce que rien ne lit le fichier — ce qui est le sujet de l’annexe A.

Exercices

1. L’accord de C ouvert d’un ukulélé est 0003 : rien sur les cordes 4, 3 et 2, troisième case sur la corde 1. Quelles notes sonnent, et quel accord est-ce ?
2. Joue le même 0003 sur un ukulélé baryton. Quel accord est-ce maintenant, et pourquoi n’est-ce pas le même ?
3. Combien des 280 accordages du catalogue de GA ne sont écrits ni seulement montants ni seulement descendants ? Chacun d’eux est-il un instrument rentrant ?

Solutions

== Exercise solutions
question                     answer
1. ukulele 0003              G4 C4 E4 C5                    pitch classes 0 4 7: C major
2. 0003 on a baritone        D3 G3 B3 G4                    pitch classes 2 7 E: G major
3. re-entrant entries        107 of 273                     tunings that rise and fall
   first ten: Baglama.Greek, Bajo.Quinto, Bajo.Sexto, Bandola.Central, Bandola.Guayanesa, Bandora.Standard, Bandurria.Peruvian, Banjo.TenorIrish, Banjo.Bluegrass5Strings, Banjo.CTuning5Strings

1. G4 C4 E4 C5 — les classes de hauteurs 0, 4 et 7, une triade de C majeur. Le G4 rentrant est la note la plus aiguë mais se trouve sur la quatrième corde, donc l’accord sonne avec le G au sommet et le C doublé.
2. D3 G3 B3 G4 — les classes de hauteurs 2, 7 et 11, une triade de G majeur. Le baryton est accordé une quarte juste sous le ukulélé standard, donc chaque forme nomme un accord une quarte plus bas : C devient G.
3. 107 des 273 accordages lisibles. Mais non : la plupart sont des chœurs, des paires de cordes accordées à l’octave ou à l’unisson, écrites A2 A1 D3 D2 …, où la descente est à l’intérieur d’une paire plutôt qu’en travers de l’instrument. Le test employé ici — « les écarts ne sont pas tous du même signe » — trouve tous les accordages rentrants et aussi tous les instruments à chœurs doublés, et le fichier ne donne aucun moyen de les distinguer, parce qu’il stocke des hauteurs et rien sur celles qui partagent un chœur. Distinguer la guitare douze cordes du ukulélé demanderait un champ que le fichier n’a pas.

À retenir

• Les cordes sont numérotées à partir de la plus aiguë sur une guitare, mais c’est une convention sur les instruments typiques, pas une définition : sur un banjo cinq cordes, la corde 5 est la plus aiguë.
• Un accordage est rentrant quand ses hauteurs, dans l’ordre des cordes, ne font ni que monter ni que descendre. Deviner la direction à partir des deux extrémités ne marche que pour les instruments qui rendent la devinette inutile.
• Les écarts comptent plus que les hauteurs. 5 4 5, ce sont les quatre cordes aiguës d’une guitare, un ukulélé et un ukulélé baryton ; 5 5 5, ce sont une basse et les quatre cordes graves d’une guitare.
• Un ukulélé baryton, ce sont les quatre cordes aiguës d’une guitare, exactement. Un ukulélé standard, c’est la même chose, une quarte plus haut. Une basse, ce sont les quatre cordes graves, une octave plus bas.

Sources

• Re-entrant tuning, Ukulele, Banjo, Bass guitar et Pedal steel guitar, Wikipédia.
• GuitarAlchemist/ga au commit a826864 : Common/GA.Domain.Core/Instruments (Tuning.cs, Primitives/Str.cs, Primitives/Fretboard.cs), Common/GA.Business.Config/Instruments.yaml.
• Le programme du cours : Lesson8.cs, Instruments.cs, expected/l8.txt.

Suite : l’annexe A lit les 122 instruments du catalogue de GA, et ce que le chargeur de GA lui-même renvoie pour eux.