Los deltas de Grothendieck — Lo que mide la distancia de contenido interválico, y lo que no puede ver

Departamento de Música | Etapa: Citrinitas (Intermedio a avanzado) | Duración estimada: 60 minutos

Objetivos

Al terminar esta lección, podrás:

Tratar los vectores de clases de intervalo como elementos de un monoide conmutativo, y construir el grupo en el que se pueden restar
Calcular el delta y la distancia L1 entre dos conjuntos, y acotar la distancia a partir de los tamaños de los conjuntos y nada más
Demostrar qué conjuntos están a distancia 0, y por qué dos conjuntos del mismo tamaño están a una distancia par
Decir lo que la distancia no puede ver: la conducción de voces, el mayor y el menor, las tonalidades, las notas que contiene un acorde y la relación Z
Seguir lo que GA calcula para cada uno de estos puntos, y dónde una heurística, un comentario o una prueba dicen otra cosa

1. El contenido interválico como recuento

Un guitarrista pide «un acorde cercano a este». Una respuesta posible compara el contenido interválico. El vector de clases de intervalo del §2 de MUS-020 cuenta, para cada clase de intervalo de 1 a 6, los pares de notas del conjunto separados por esa distancia. Do mayor tiene <001110>: una tercera menor, una tercera mayor y una quinta.

Un vector es una lista de seis números naturales, un elemento de N^6, y dos listas así se suman componente a componente. Con <000000> como elemento neutro, N^6 es un monoide conmutativo: su suma es asociativa y conmutativa y tiene elemento neutro. Ningún elemento salvo <000000> tiene opuesto: ninguna lista de números naturales sumada a <001110> da <000000>.

La suma de dos vectores cuenta pares; no combina acordes. Añade la nota si a do mi sol. El nuevo conjunto, Cmaj7, conserva los tres pares de do mayor y gana los tres pares que forma si con do, mi y sol, a 11, 7 y 4 semitonos: las clases de intervalo 1, 5 y 4. Así, ICV(Cmaj7) = <001110> + <100110> = <101220>. En general, cuando dos conjuntos A y B no comparten ninguna nota, ICV(A ∪ B) = ICV(A) + ICV(B) + X(A, B), donde X(A, B) cuenta los pares formados por una nota de cada conjunto, clase por clase: la función de intervalos de Lewin (1987), plegada sobre las clases de intervalo. La nota si, por sí sola, tiene el vector <000000>; todo lo que añade viene de X.

No toda lista es el vector de un conjunto. Los seis recuentos de un conjunto de n notas suman n(n − 1)/2, su número de pares. Los 4,096 conjuntos tienen 200 vectores distintos: <000000> para el conjunto vacío y las notas solas, y luego 6, 12, 28, 35, 35, 35, 28, 12, 6, 1 y 1 vectores para los tamaños 2 a 12. Son las 224 clases de conjuntos del §4 de MUS-020, menos 23 porque cada par en relación Z comparte un vector, menos 1 porque el conjunto vacío y una nota sola comparten <000000>.

Ejercicio práctico

Halla el vector de C7, do mi sol si♭, a partir del de do mayor.

Solución: Si♭ está 10, 6 y 3 semitonos por encima de do, mi y sol: las clases de intervalo 2, 6 y 3. Así, X = <011001>, y <001110> + <011001> = <012111>, el vector que el §2 de MUS-020 da para C7.

2. Restar recuentos: el grupo de Grothendieck

Para comparar dos conjuntos queremos una diferencia: cuántos pares de cada clase tiene el segundo conjunto más que el primero. N^6 no tiene elementos negativos, así que lo ampliamos hasta el grupo más pequeño en el que se pueden restar dos cualesquiera de sus elementos.

La construcción de Grothendieck hace esto para cualquier monoide conmutativo M. Toma pares (a, b) de elementos de M, que se leen como «a − b». Llama equivalentes a (a, b) y (c, d) cuando a + d + k = b + c + k para algún k de M. Las clases forman un grupo abeliano K(M): (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), el elemento neutro es la clase de (0, 0), y el opuesto de (a, b) es la clase de (b, a). La aplicación a ↦ (a, 0) lleva M a K(M), y todo homomorfismo de M en un grupo se extiende a K(M) de una única manera: ese es el sentido de «más pequeño». Cuando M es cancelativo, es decir, cuando a + k = b + k implica a = b, el k se puede omitir y la aplicación es inyectiva. N^6 es cancelativo, y K(N^6) es Z^6: la clase de (a, b) es la lista de enteros a − b.

El delta de Grothendieck de un conjunto A a un conjunto B es δ(A, B) = ICV(B) − ICV(A), un elemento de Z^6. De do mayor a Cmaj7 vale <+1, 0, 0, +1, +1, 0>: un semitono más, una tercera mayor más y una quinta más. Tres leyes lo convierten en una diferencia, y se cumplen porque la resta en un grupo las cumple:

δ(A, A) = 0;
δ(B, A) = −δ(A, B);
δ(A, B) + δ(B, C) = δ(A, C).

El delta depende solo de los dos vectores, no de las notas. Ir de do mayor a Fmaj7, fa la do mi, conserva do y mi, quita sol y añade fa y la, y sin embargo da el mismo delta que ir a Cmaj7, porque Fmaj7 y Cmaj7 comparten el vector <101220>.

La norma L1 de un delta suma los valores absolutos de sus seis componentes, y la distancia d(A, B) es la norma L1 de δ(A, B). Sobre los vectores, es una métrica. Sobre los conjuntos, es solo una pseudométrica: d(A, B) = 0 no obliga a que A = B (§3).

Ejercicio práctico

Da los vectores de una tríada mayor y de una tríada menor, y su distancia.

Solución: Ambos son <001110>. Una tríada menor es una inversión de una tríada mayor, y una inversión conserva cada clase de intervalo (§2 de MUS-020). El delta es 0, y la distancia también. GA da 1 (§5).

3. Lo que mide la distancia

Sea T(n) = n(n − 1)/2 el número de pares de un conjunto de n notas. Los seis componentes de δ(A, B) suman T(|B|) − T(|A|).

Teorema 1 (cota de tamaño y paridad). d(A, B) ≥ |T(|B|) − T(|A|)|, y d(A, B) − (T(|B|) − T(|A|)) es par.

Demostración. La suma de los valores absolutos de los componentes es al menos el valor absoluto de su suma. Y para todo entero x, |x| − x vale 0 o 2|x|, un número par, así que la norma y la suma difieren en un número par. ∎

De ahí se siguen tres consecuencias:

Dos conjuntos del mismo tamaño están a una distancia par, así que dos conjuntos del mismo tamaño con vectores distintos están al menos a 2.
Un conjunto de tres notas y uno de cuatro notas están al menos a T(4) − T(3) = 3.
Una distancia de exactamente 1 requiere T(|B|) − T(|A|) = ±1, lo que solo ocurre entre un conjunto de dos notas y uno de como mucho una nota. Desde un conjunto de tres notas o más, todo conjunto está a distancia 0 o al menos a 2.

Teorema 2 (una nota añadida). Si A tiene n notas y x no es una de ellas, añadir x añade los n pares entre x y las notas de A y no cambia ningún otro par. Así, δ(A, A ∪ {x}) tiene componentes no negativos que suman n, y d(A, A ∪ {x}) = n, sea cual sea la nota añadida.

Así, Cmaj7, C7, C6 y Cadd9 están todos a distancia 3 de do mayor, la menor distancia que un conjunto de cuatro notas puede tener respecto de uno de tres. De las 29 clases de tetracordios, 13 están a distancia 3 de do mayor, y cuatro de ellas no contienen ninguna tríada mayor ni menor.

Teorema 3 (distancia cero). d(A, B) = 0 exactamente cuando A y B tienen el mismo vector. Como T(0) = T(1) = 0 y T crece a partir de n = 1, dos conjuntos de tamaños distintos solo comparten un vector cuando uno es vacío y el otro es una nota sola. Dos conjuntos del mismo tamaño comparten un vector exactamente cuando están en la misma clase de conjuntos o en dos clases en relación Z (§5 de MUS-020). Así, cada transposición y cada inversión de un conjunto está a distancia 0 de él, y lo mismo vale para cada conjunto de su clase compañera en relación Z.

La distancia cuenta cuántos pares de cada clase de intervalo aparecen o desaparecen, y nada más. El teorema 2 dice lo que cuesta una nota añadida; el teorema 3 dice lo que no cuesta nada.

Ejercicio práctico

¿Qué distancias se dan entre dos clases de tricordios distintas?

Solución: Dos tricordios tienen 3 pares cada uno, así que por el teorema 1 su distancia es par, y no es 0, porque ningún par de clases de tricordios está en relación Z. Los valores que se dan son 2, 4 y 6: (037) está a 2 de (025), a 4 de (048) y a 6 de (012).

4. Lo que no puede ver

Cada uno de los límites siguientes se deduce del §3: la distancia es una función de dos vectores, así que una operación que conserva el vector le resulta invisible.

La conducción de voces. Mueve una nota de do mi sol un semitono, hacia arriba o hacia abajo. Los seis resultados son mi sol si (mi menor) y do mi♭ sol (do menor) a distancia 0, y do♯ mi sol (do♯ disminuido), do fa sol (Csus4), do mi fa♯ y do mi sol♯ (do aumentado) a distancia 4. Las tres clases de tricordios más cercanas a do mayor por contenido interválico, a distancia 2, son (014), (015) y (025), y ninguna está a un semitono: sus representantes más cercanos, como mi♭ mi sol, do mi fa y re mi sol, necesitan tres, dos y dos semitonos de movimiento, sumando lo que se mueve cada voz. Una distancia sobre vectores no puede ordenar los acordes por cuánto se mueve la mano. El §6 de MAT-022 muestra que la búsqueda de caminos de IX no consigue, por esta razón, unir la tríada aumentada y do mayor, y la búsqueda de GA falla de la misma manera (§5).

El mayor y el menor, las tonalidades y los modos. Do mayor y do menor están a distancia 0, ya que una inversión conserva el vector. Lo mismo vale para las doce escalas mayores, incluidas do mayor y fa♯ mayor: una transposición conserva el vector, así que una distancia sobre vectores no puede contar alteraciones. Un modo de una escala es el mismo conjunto de clases de altura, y do menor natural contiene las notas de mi♭ mayor, así que ambas escalas están a distancia 0 de cada escala mayor.

Las notas que contiene un acorde. 4-Z15, do do♯ mi fa♯, y 4-Z29, do do♯ mi♭ sol, están ambos a distancia 3 de do mayor, con el mismo delta <+1, +1, 0, 0, 0, +1>. 4-Z29 contiene una tríada menor, do mi♭ sol; 4-Z15 no contiene ninguna tríada mayor ni menor. Estar a distancia 3 de do mayor no significa «do mayor más una nota»: otras tres clases de tetracordios están a distancia 3 sin ninguna tríada mayor ni menor, como 4-Z15 (§3).

La relación Z. Esos dos conjuntos comparten el vector <111111> y están a distancia 0 uno del otro, aunque ninguna transposición ni inversión lleva uno sobre el otro.

Ejercicio práctico

Un usuario pide «un acorde de cuatro notas cercano a do mayor» y recibe las clases de tetracordios a distancia 3, la menor distancia posible para un conjunto de cuatro notas. ¿Cuáles son las cuatro que no contienen ninguna tríada mayor ni menor?

Solución: (0125), (0135), (0145) y (0146), que es 4-Z15. Las otras 9 contienen una. La distancia ordena las 13 por igual.

5. Dónde está GA

GA es la biblioteca de teoría musical y el chatbot del ecosistema GuitarAlchemist. Los hechos siguientes se leen en su código en el commit 40d3374, la rama main de GA el 2026-10-06; esta lección documenta ese código sin modificarlo, y no ha ejecutado GA ni sus pruebas. El curso ga-ai de Learn ejecutó parte del mismo código, compilado en dos commits anteriores de GA; sus salidas se citan donde corresponde, cada una con el commit compilado y el código que allí es el mismo que en 40d3374. Los demás números vienen de una transcripción en Python, línea por línea, del código de GA citado.

El delta. GrothendieckDelta es «a signed delta in the Grothendieck group», con una suma y un opuesto que cumplen las leyes de grupo (líneas 139-167). FromIcVs resta los dos vectores componente a componente, y luego:

        // Heuristic: When two distinct sets share the same ICV (e.g., diatonic modes/keys),
        // L1 difference is zero. To preserve musical differentiation expected by callers/tests,
        // emit a minimal non-zero delta focused on ic1. This keeps related keys close but not identical.
        if (delta.L1Norm == 0)
        {
            delta = delta with { Ic1 = 1 };
        }

El comentario habla de «two distinct sets», pero el método solo ve dos vectores, así que también da <+1, 0, 0, 0, 0, 0> para un conjunto comparado consigo mismo: para los 200 vectores, según la transcripción. Por tanto, la aplicación incumple las tres leyes del §2. δ(A, A) no es 0. De do menor de vuelta a do mayor, vuelve a dar <+1, 0, 0, 0, 0, 0>, no el opuesto del delta de ida. Y do mayor → do menor → do mayor suma <+2, 0, 0, 0, 0, 0>. Entre dos vectores distintos, la transcripción la encuentra igual al delta verdadero. El +1 cae en la clase de intervalo 1, donde no cambió ningún par de notas, y Explain lo lee como «+1 ic1 (semitone)» y, como una ganancia en ic1 o ic2 se comprueba primero, como «more chromatic color». La issue #776 de GA señala la heurística y pide que ComputeDelta(v, v).L1Norm sea 0. La lección 14 del curso ga-ai de Learn imprimió ComputeDelta(...).L1Norm = 1 para C frente a C, frente a Am y frente a F♯, y para G7 frente a D♭7 (salida), compilando GA en a826864, donde GrothendieckDelta.cs es el mismo que en 40d3374.

GA tiene un segundo delta. IcvDelta, en el archivo OptickGrothendieck.fs del DSL, representa «elements of the Grothendieck group Z^6» y resta sin heurística, así que los dos deltas de GA discrepan exactamente en los vectores iguales. Su prueba, Grothendieck_IcvDelta_IsAbelianGroupAndCancellative, comprueba el elemento neutro y el opuesto sobre un solo delta; no comprueba ni la conmutatividad, ni la asociatividad, ni la propiedad cancelativa, y no toca GrothendieckDelta.

Las escalas de las pruebas. Las pruebas de GA escriben los conjuntos como cadenas de dígitos, leídas carácter a carácter (PitchClassSet.TryParse), mediante PitchClass.TryParseSetNotation, que lee A y B como 10 y 11 y pasa todo lo demás a PitchClass.TryParse: los dígitos, T para 10, E para 11, y los nombres de notas, que estas cadenas no usan. ShouldComputeDelta_FromCMajorToGMajor lee sol mayor como «02479E1», con el comentario «G A B C D E F#», y OptickGrothendieckTests lo repite. Los dígitos dan do do♯ re mi sol la si: un 1 donde sol mayor necesita un 6. Ese conjunto tiene el vector <354351>, no el diatónico <254361>, y su delta verdadero desde do mayor es <+1, 0, 0, 0, −1, 0>, a distancia 2. El «do menor» de ShouldComputeDelta_FromCMajorToCMinor, «0235789», es do re mi♭ fa sol la♭ la, con el vector <344352>, a distancia 4; do menor natural sería «023578T». Según la transcripción:

FromCMajorToCMinor afirma una L1 mayor que 0 y una explicación que contiene «ic», y ShouldComputeDelta_WithExplanation, sobre el mismo «02479E1» que FromCMajorToGMajor, afirma que la explicación contiene «ic1». Ambas pasan con el delta verdadero. Con do menor natural en la primera prueba, el modo al que apunta su comentario («Moves between modes»), y el verdadero sol mayor en la segunda, los dos deltas verdaderos serían 0, y las dos pruebas solo pasarían gracias a la heurística: sin ella, Explain devolvería «No change». #776 lee la primera prueba como una comparación de do mayor con do menor natural, que comparten un vector, y concluye que pasa «only because of the rule above». En 40d3374, como en el commit que cita #776, el conjunto de la prueba no es do menor natural, y la prueba pasa con el delta verdadero de 4.
FromCMajorToGMajor afirma una L1 menor que 5: 2 para el conjunto que usa; 1, por la heurística, para el verdadero sol mayor.
ShouldFindShortestPath_BetweenRelatedKeys solo comprueba los dos extremos del camino, que tiene un paso tanto si el destino es «02479E1» como si es el verdadero sol mayor.
La prueba de IcvDelta de arriba usa el mismo «sol mayor»: su delta solo es distinto de cero por el dígito equivocado.

Vecindades y caminos. El coste es la norma L1 multiplicada por 0.6 (líneas 39-42), que ShouldComputeHarmonicCost_AsL1Norm comprueba con 5.4 para una norma de 9. FindNearby recorre los 4,096 conjuntos, pone el origen primero, con coste 0, descarta el origen por valor y se queda con cada conjunto cuyo delta heurístico cae dentro del radio, ordenados por coste. Cualquier otro conjunto con el vector del origen aparece a distancia 1, nunca 0. Según la transcripción, desde do mayor (la tríada), el radio 0 devuelve solo do mayor; el radio 1 devuelve do mayor y las otras 23 tríadas mayores y menores, y nada más; el radio 2 añade 108 díadas y tricordios a distancia verdadera 2, 132 conjuntos en total. Desde la escala de do mayor, el radio 1 devuelve sus 12 transposiciones, ella misma incluida, y el radio 2 devuelve 36 conjuntos.

FindShortestPath busca en anchura mediante FindNearby(current, 2), entre los conjuntos del tamaño actual (líneas 148-151). Su comentario dice que el radio 2 «connects closely related diatonic collections (e.g., C major → G major)», que «typically differ by one accidental yet may exceed radius=1». Por el §4, dos escalas mayores cualesquiera están a distancia 0, y a 1 por la heurística: la métrica no ve la alteración, y cada tonalidad está a un paso de todas las demás. La transcripción va de la escala de do mayor a la de fa♯ mayor en un paso, como de do mayor a sol mayor; de la tríada de do mayor a do menor y a fa♯ mayor, en un paso cada uno; y no encuentra ningún camino de do mayor a do mi sol♯, ya que ninguna otra clase de tricordios está a 2 o menos de (048). El §6 de MAT-022 encuentra la misma laguna en IX, y la issue #802 de GA la señala, con los caminos de un paso entre tríadas, en la IcvShortestPathSkill del chatbot.

Las dos skills del chatbot. La lección 23 del curso ga-ai de Learn llamó directamente a GrothendieckDeltaSkill, compilando la rama main de GA en f4f5b4a, donde la skill, el delta y el servicio son los mismos que en 40d3374. Cinco de los diez prompts de ejemplo de la skill nombran dos acordes de una misma clase de conjuntos. La skill rechaza uno de ellos, «how different are C major and F major harmonically», porque «major» se interpone entre el primer acorde y «and», como señala la lección 23. Responde a los otros cuatro: C a G, Am y Em, Cmaj7 y Fmaj7, C a F. Para cada uno, en ambos sentidos, la ejecución imprimió el delta [+1, 0, 0, 0, 0, 0], L1 1, coste 0.60, y luego «+1 ic1 (semitone)» y «more chromatic color» (salida, líneas 58-63 y 66-67). La skill explica después que cada componente «says how many more occurrences of that interval-class the target has than the source»: sol mayor tendría un semitono más que do mayor, cuando ninguno de los dos tiene ninguno. #802 lo señala, junto con la flecha mal codificada que Explain imprime entre las dos partes. La lección 22 del curso ga-ai de Learn ejecutó IcvNeighborsSkill, que recalcula el delta verdadero a causa de la heurística (su comentario); compiló el mismo f4f5b4a, donde esta skill también es la misma que en 40d3374. Por el teorema 1, todo conjunto a distancia 1 o 2 de un acorde de tres notas está a 2, así que la skill se queda con los ocho primeros en el orden de FindNearby, que es el orden de las máscaras de bits de los conjuntos. Para C: {0,3}, {0,4}, {1,4}, {0,1,4}, {0,3,4}, {0,5}, {1,5} y {0,1,5}, cinco clases de conjuntos, anunciados como el «top 8 by harmonic cost» (salida). La issue #798 de GA lo señala. El filtro de la skill descarta la distancia 0 como «exact ICV-identical (same set class)», lo que también descartaría una compañera Z; ninguno de los acordes que construye la skill tiene una.

La herramienta MCP. GaIcvNeighbors, de GaMcpServer, calcula bien la distancia. Recalcula la L1 verdadera, y su comentario nombra la heurística; descarta la propia clase de conjuntos del acorde y lista cada clase una sola vez. Según la transcripción, GaIcvNeighbors("C", 2) lista (03), (04), (014), (05), (015) y (025), todas a Δ=2. Sus dos pruebas comprueban que la respuesta a distancia 1 para C no nombra Forte 3-11, y que a distancia 2 cada línea está a Δ=2, ninguna línea se repite ni nombra Forte 3-11, y Forte 3-7 aparece. Con la distancia por defecto, 1, no lista nada para C. Por el teorema 1, para un conjunto de tres notas o más, la distancia 1 solo puede añadir una compañera Z, a distancia 0, como dice la descripción de la herramienta: «distance 0 is a Z-related set».

Las issues #776, #798 y #802 de GA cubren la heurística y las dos skills. Mientras se escribe esta lección, ninguna issue de GA cubre las escalas de las pruebas, el comentario sobre los caminos ni la prueba de IcvDelta. Corregir cualquiera de ellos corresponde a los responsables de GA; esta lección solo los describe.

Ejercicio práctico

Si _gMajorScale en OptickGrothendieckTests fuera la verdadera escala de sol mayor, «024679E», ¿qué comprobaría Grothendieck_IcvDelta_IsAbelianGroupAndCancellative?

Solución: Solo el elemento neutro. La verdadera escala de sol mayor es una transposición de la de do mayor, así que IcvDelta.Between devolvería <0, 0, 0, 0, 0, 0>, y las dos aserciones comprobarían 0 + 0 = 0 y 0 + (−0) = 0. Ya no pondrían a prueba la suma ni la negación con un delta no nulo. Con «02479E1», comprueban d + 0 = d y d + (−d) = 0 para d = <+1, 0, 0, 0, −1, 0>.

6. Experimento propuesto (aún no ejecutado)

Estado: no ejecutado. Esta sección propone un experimento para el laboratorio music-theory-ga de Learn, que compila GA; la versión de GA fijada en el laboratorio pasaría primero a 40d3374, y los archivos de GA que descarga incluirían también GA.Business.DSL y GaMcpServer. Nada en ella es una medición. Las predicciones vienen del §3 y de la transcripción del §5, y se escriben antes de cualquier ejecución; una versión posterior de esta lección dará los resultados. Cada paso llama a los tipos de GA en el propio proceso del laboratorio, nunca a un servidor MCP en ejecución ni a un modelo de lenguaje. Las skills del chatbot quedan fuera, ya que las lecciones 22 y 23 del curso ga-ai de Learn ya las ejecutaron.

Los deltas. Llamar a GrothendieckService.ComputeDelta y a IcvDelta.Between sobre los vectores de do mayor y do menor («047», «037»), de do mayor y re mayor («047», «269»), de 4-Z15 y 4-Z29 («0146», «0137»), de la escala de do mayor y la verdadera escala de sol mayor («024579E», «024679E»), y de la escala de do mayor y «02479E1». Predicción: para los cuatro primeros pares, IcvDelta es cero y ComputeDelta es <+1, 0, 0, 0, 0, 0>; para el último, ambos dan +1 en la clase de intervalo 1 y −1 en la clase de intervalo 5.
Las leyes. Sobre los 200 vectores distintos de los 4,096 conjuntos, probar las tres leyes del §2 en ComputeDelta y en IcvDelta. Predicción: IcvDelta cumple cada ley en cada par y cada terna. ComputeDelta(v, v) es <+1, 0, 0, 0, 0, 0> para los 200 vectores; la antisimetría falla solo en los 200 pares iguales; la aditividad falla en las 119,600 ternas cuyos tres vectores no son todos distintos, y solo ahí.
Las vecindades. Contar lo que devuelve FindNearby desde do mayor («047») con radio 0, 1 y 2, y desde la escala de do mayor con radio 1 y 2. Predicción: 1, 24 y 132; 12 y 36.
Los caminos. Llamar a FindShortestPath de la escala de do mayor a fa♯ mayor («13568TE») y a la verdadera escala de sol mayor, y de la tríada de do mayor («047») a la de do menor («037») y a do mi sol♯ («048»). Predicción: dos conjuntos cada uno para los tres primeros; un camino vacío para el último.
Las escalas de las pruebas. Imprimir los elementos y los vectores de «02479E1» y «0235789». Predicción: {0, 1, 2, 4, 7, 9, 11} con <354351>, y {0, 2, 3, 5, 7, 8, 9} con <344352>.
La herramienta MCP. Llamar a GaClosureBootstrap.init(), como hacen las pruebas de GA, y luego a GaIcvNeighbors("C", 1) y GaIcvNeighbors("C", 2). Predicción: el mensaje «No other set class within distance 1 of C», y luego seis clases a Δ=2, entre ellas Forte 3-7.

Ejercicio práctico

¿De dónde sale el 119,600 del paso 2?

Solución: La heurística solo actúa con vectores iguales. Cuando a, b y c son todos distintos, cada término es una diferencia verdadera y la ley se cumple. Cuando a = b ≠ c, el lado izquierdo lleva el +1 del primer término; cuando b = c ≠ a, el del segundo. Cuando a = c ≠ b, el lado izquierdo es 0 y el derecho <+1, 0, 0, 0, 0, 0>. Cuando a = b = c, el lado izquierdo es <+2, 0, 0, 0, 0, 0> y el derecho <+1, 0, 0, 0, 0, 0>. Así, la ley falla exactamente en las 200³ − 200 × 199 × 198 = 8,000,000 − 7,880,400 = 119,600 ternas que no son todas distintas.

7. Errores comunes

Leer la distancia 0 como «el mismo acorde». Significa el mismo vector: una transposición, una inversión o una compañera Z.
Leer una distancia pequeña como un movimiento pequeño. Mover una nota de do mayor un semitono da distancia 0 o 4; las clases de tricordios a distancia 2 necesitan dos o tres semitonos de movimiento.
Esperar que la distancia cuente alteraciones. Cada tonalidad mayor está a distancia 0 de todas las demás.
Leer un delta como una receta. Un delta dice cuántos pares de cada clase aparecen o desaparecen, no qué notas cambian: de do mayor a Cmaj7 y de do mayor a Fmaj7 hay un mismo delta.
Parchear un cero. Sustituir un delta nulo por uno «minimal non-zero» incumple δ(A, A) = 0, la antisimetría y la aditividad, y señala un cambio en una clase de intervalo en la que no cambió ningún par.
Fiarse del comentario de una prueba. Una prueba comprueba el conjunto que construye su código, no el que nombra su comentario: «02479E1» no es sol mayor.
Comparar conjuntos de tamaños distintos. La cota de tamaño vale sean cuales sean las notas: un acorde de tres notas y uno de cuatro nunca están a menos de 3.

Términos clave

Término	Definición
Monoide conmutativo	Un conjunto con una suma asociativa y conmutativa y un elemento neutro, como N^6 con la suma componente a componente
Cancelativo	Dicho de un monoide en el que a + k = b + k solo se cumple si a = b
Grupo de Grothendieck	K(M), las clases de pares (a, b) leídos como a − b: todo homomorfismo de M en un grupo se extiende a él de una única manera; K(N^6) = Z^6
Delta de Grothendieck	δ(A, B) = ICV(B) − ICV(A), un elemento de Z^6
Norma L1	La suma de los valores absolutos de los seis componentes de un delta
Distancia de contenido interválico	d(A, B), la norma L1 de δ(A, B): una métrica sobre los vectores, una pseudométrica sobre los conjuntos
Cota de tamaño	La distancia es al menos la diferencia absoluta entre los números de pares de los dos conjuntos, T(n) = n(n − 1)/2, y tiene la misma paridad

Autoevaluación

1. ¿Cuál es el delta de do mayor a C7, y cuál es la distancia?

<0, +1, +1, 0, 0, +1>, a distancia 3. C7 añade si♭ a do mayor, y por el teorema 2 una nota añadida a un conjunto de tres notas cuesta siempre 3.

2. ¿Por qué ningún acorde de cuatro notas puede estar a distancia 1 o 2 de un acorde de tres notas?

Los componentes del delta suman T(4) − T(3) = 3, así que su norma L1 es al menos 3 (teorema 1).

3. FindNearby de GA devuelve 24 conjuntos dentro del radio 1 de la tríada de do mayor. ¿Cuáles son, y cuál es su distancia verdadera a do mayor?

Do mayor mismo y las otras 23 tríadas mayores y menores. Todas comparten el vector <001110>, así que su distancia verdadera es 0; la heurística pone las 23 a 1.

4. ¿Puede GaIcvNeighbors con distancia 1 listar algo para un acorde de séptima de dominante?

Solo una compañera Z, a distancia 0: una distancia de exactamente 1 solo se da entre un conjunto de dos notas y uno de como mucho una. La clase del acorde de séptima de dominante, 4-27, no tiene compañera Z, así que la herramienta no lista nada.

Criterio de aprobación: Construir K(M) y explicar por qué K(N^6) = Z^6; calcular deltas y distancias; demostrar la cota de tamaño, la regla de la nota añadida y el teorema de la distancia cero; nombrar lo que la distancia no puede ver; y decir dónde la heurística, los comentarios y las pruebas de GA se apartan de las matemáticas.

Base de investigación

D. Lewin, Generalized Musical Intervals and Transformations, Yale University Press, 1987: la función de intervalos de dos conjuntos
S. Lang, Algebra, tercera edición revisada, Springer, 2002: el grupo de Grothendieck de un monoide conmutativo
MUS-020 de Streeling para los vectores de clases de intervalo y la relación Z, y MAT-022 para los grupos, los invariantes y la búsqueda de caminos de IX
Código fuente de GA en el commit 40d337479af36d987df3f06c8c638ffd35f13458, y las issues #776, #798 y #802 de GA: cada hecho de código del §5 enlaza a su línea
El curso ga-ai de Learn, lecciones 14, 22 y 23, en el commit 1190ee33650a5637414e73a455b69f3914f44fd6 de Learn: las salidas de ejecución citadas en el §5
Comprobaciones en Python sobre los 4,096 conjuntos: cada uno de los demás números de los §§1–5 sale de ellas o de la transcripción del código de GA
Experimento: propuesto en el §6, no ejecutado; esta lección no aporta ninguna medición nueva de GA
Procedencia: redactado a mano por una sesión de Claude Code (Opus 5.5) a partir del plan de currículo de Streeling, no producido por el pipeline de cursos Seldon; en revisión
Estado de creencia: T(0.85) F(0.02) U(0.10) C(0.03); traducción al español: U (sin revisión de un hablante nativo)