Vectores, matrices, normas y aplicaciones lineales — Lo que una matriz le hace al espacio

Departamento de Matemáticas | Etapa: Nigredo (Principiante) | Duración estimada: 45 minutos

Objetivos

Al terminar esta lección, serás capaz de:

Describir un espacio vectorial y escribir un vector en coordenadas respecto de una base
Reconocer una aplicación lineal y construir su matriz a partir de las imágenes de los vectores de la base
Explicar por qué el producto de matrices es la composición de aplicaciones lineales, y por qué es asociativo pero no conmutativo
Leer el determinante como un volumen con signo y estimar el costo de calcularlo por desarrollo en cofactores
Enunciar los axiomas de norma, usar las normas p, y mostrar por qué la «norma» p = 1/2 no lo es
Decir qué garantizan y qué no garantizan las funciones de álgebra lineal y de distancia de IX

1. Vectores y espacios vectoriales

Un vector de Rⁿ es una lista de n números reales, x = (x₁, …, xₙ). Los vectores se suman y se multiplican por números (escalares) componente a componente: (1, 2) + (3, 4) = (4, 6) y 3 · (1, 2) = (3, 6).

Un espacio vectorial es cualquier conjunto con una suma y una multiplicación por escalares de este tipo que cumplen las reglas conocidas: la suma es asociativa y conmutativa, hay un vector cero y cada vector tiene un opuesto, y la multiplicación por escalares es distributiva respecto de ambas sumas. Rⁿ es el ejemplo principal, pero no el único: los polinomios a₀ + a₁t + a₂t² de grado a lo sumo 2 también forman un espacio vectorial, y se comportan exactamente como las ternas (a₀, a₁, a₂).

Una combinación lineal de los vectores v₁, …, vₖ es una suma c₁v₁ + … + cₖvₖ. Una base es una lista de vectores tal que todo vector del espacio es combinación lineal de ellos de una única manera; los números cᵢ son entonces las coordenadas del vector en esa base. La base canónica de R² es e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1), y en ella las coordenadas de (3, 4) son simplemente 3 y 4. En otra base, el mismo vector tiene otras coordenadas.

Ejercicio práctico

Encuentra las coordenadas de (3, 4) en la base u = (1, 1), w = (1, −1).

Solución: Buscamos a y b con a · (1, 1) + b · (1, −1) = (3, 4), es decir, a + b = 3 y a − b = 4. Sumando las ecuaciones, 2a = 7, así que a = 7/2; restándolas, 2b = −1, así que b = −1/2. Comprobación: 7/2 · (1, 1) − 1/2 · (1, −1) = (7/2 − 1/2, 7/2 + 1/2) = (3, 4).

2. Aplicaciones lineales y sus matrices

Una aplicación L de un espacio vectorial en otro es lineal si respeta las dos operaciones:

L(u + v) = L(u) + L(v) y L(c · v) = c · L(v), para todos los vectores u, v y todo escalar c.

Las rotaciones alrededor del origen, las reflexiones respecto de una recta que pasa por el origen y los escalamientos son lineales. Una traslación x ↦ x + b con b ≠ 0 no lo es: toda aplicación lineal envía 0 a 0, porque L(0) = L(0 · 0) = 0 · L(0) = 0.

Una aplicación lineal queda determinada por lo que hace con una base. Si x = x₁e₁ + … + xₙeₙ, entonces L(x) = x₁L(e₁) + … + xₙL(eₙ). Por eso escribimos las imágenes L(e₁), …, L(eₙ) como las columnas de una matriz A, y calcular L(x) se convierte en el producto matriz–vector A x: x₁ veces la primera columna, más x₂ veces la segunda, y así sucesivamente. Por ejemplo, la rotación de 90° envía e₁ = (1, 0) a (0, 1) y e₂ = (0, 1) a (−1, 0), así que su matriz es

R = [[0, −1], [1, 0]],

escrita fila por fila.

Ejercicio práctico

Encuentra la matriz S de la reflexión respecto de la recta y = x, y comprueba que envía (1, 2) a (2, 1).

Solución: La reflexión intercambia las dos coordenadas, así que envía e₁ = (1, 0) a (0, 1) y e₂ = (0, 1) a (1, 0). Estas imágenes son las columnas: S = [[0, 1], [1, 0]]. Entonces S (1, 2) = 1 · (0, 1) + 2 · (1, 0) = (2, 1).

3. La composición es el producto de matrices

Si B es la matriz de una aplicación lineal M y A la de L, aplicar primero M y luego L sigue siendo lineal, y su matriz es el producto AB: por definición, (AB) x = A (B x). Calculando las columnas se obtiene la regla habitual

(AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ Bₖⱼ,

que exige que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. Fíjate en el orden: en (AB) x, la aplicación B actúa primero.

De esta definición se siguen dos propiedades:

El producto es asociativo: (AB)C = A(BC). Ambos lados son la composición «C, luego B, luego A», y la composición de funciones siempre es asociativa. No hace falta ningún cálculo con las entradas.
El producto no es conmutativo: en general AB ≠ BA, porque hacer dos cosas en el orden inverso suele ser hacer otra cosa.

Ejercicio práctico

Con R = [[0, −1], [1, 0]] (rotación de 90°) y F = [[1, 0], [0, −1]] (reflexión respecto del eje x), calcula RF y FR y describe cada una como una transformación geométrica.

Solución: RF = [[0 · 1 + (−1) · 0, 0 · 0 + (−1) · (−1)], [1 · 1 + 0 · 0, 1 · 0 + 0 · (−1)]] = [[0, 1], [1, 0]], la reflexión respecto de la recta y = x. FR = [[1 · 0 + 0 · 1, 1 · (−1) + 0 · 0], [0 · 0 + (−1) · 1, 0 · (−1) + (−1) · 0]] = [[0, −1], [−1, 0]], la reflexión respecto de la recta y = −x. Como RF ≠ FR, el orden importa: «reflejar y luego rotar» no es «rotar y luego reflejar».

4. El determinante como volumen

Para una matriz 2 × 2, det [[a, b], [c, d]] = ad − bc. Su valor absoluto es el área del paralelogramo generado por las dos columnas (a, c) y (b, d), y su signo dice si la aplicación conserva la orientación del plano (+) o la invierte (−). En n dimensiones, |det A| es el factor por el que A multiplica los volúmenes. De esta imagen se siguen tres hechos:

det(AB) = det A · det B: aplicar B y luego A multiplica los volúmenes por ambos factores.
det A = 0 exactamente cuando A aplasta el espacio sobre una dimensión menor, es decir, cuando sus columnas son linealmente dependientes y A no tiene inversa.
Una rotación tiene determinante 1 y una reflexión −1: ambas conservan las áreas, y solo la reflexión invierte la orientación.

Para matrices más grandes, el desarrollo en cofactores por la primera fila reduce un determinante n × n a n determinantes de tamaño n − 1:

det A = Σⱼ (−1)ʲ⁺¹ a₁ⱼ det A₁ⱼ,

donde A₁ⱼ es A sin su primera fila ni su columna j. Es una definición correcta pero un algoritmo costoso. La eliminación gaussiana necesita un número de operaciones del orden de n³. Suma a una fila un múltiplo de otra, lo que no cambia el determinante, e intercambia filas, lo que cambia su signo. Así, det A es el producto de los pivotes, multiplicado por −1 por cada intercambio de filas: para [[0, 1], [1, 0]], un intercambio da los pivotes 1 y 1, y det = −1.

Ejercicio práctico

Una implementación aplica el desarrollo en cofactores de forma recursiva y se detiene en las matrices 2 × 2, que calcula directamente. ¿Cuántos determinantes 2 × 2 evalúa para una matriz n × n? Compara la cuenta para n = 10 con 10³.

Solución: Sea D(n) la cuenta. D(2) = 1, y una matriz n × n hace n llamadas de tamaño n − 1, así que D(n) = n · D(n − 1). Por inducción (MAT-001), D(n) = n!/2: se cumple para n = 2, ya que 2!/2 = 1, y si D(n − 1) = (n − 1)!/2, entonces D(n) = n · (n − 1)!/2 = n!/2. Para n = 10, son 10!/2 = 1,814,400 determinantes de tamaño 2, frente a un número de pasos de eliminación del orden de 10³ = 1000. Para n = 20, 20!/2 es aproximadamente 1.2 × 10^18.

5. Normas: medir longitudes

Una norma asigna una longitud ‖x‖ a cada vector y cumple tres axiomas:

Positividad: ‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0 solo para x = 0.
Homogeneidad: ‖c · x‖ = |c| · ‖x‖ para todo escalar c.
Desigualdad triangular: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.

Toda norma da una distancia d(x, y) = ‖x − y‖, y la desigualdad triangular de la norma se convierte en la de las distancias: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Dar un rodeo por y nunca es más corto que ir directamente.

Las normas p en Rⁿ son ‖x‖ₚ = (|x₁|ᵖ + … + |xₙ|ᵖ)^(1/p), para p ≥ 1, y ‖x‖∞ = maxᵢ |xᵢ|, que es su límite cuando p crece. Para x = (3, 4):

‖x‖₁ = 3 + 4 = 7, la longitud de Manhattan;
‖x‖₂ = √(9 + 16) = 5, la longitud euclidiana;
‖x‖∞ = 4, la mayor componente.

Para p ≥ 1 se cumple la desigualdad triangular: es la desigualdad de Minkowski. Para 0 < p < 1 la misma fórmula sigue dando un número, pero no una norma.

Una matriz también tiene normas. La inducida por una norma vectorial es ‖A‖ = max ‖A x‖ / ‖x‖ sobre los x ≠ 0, el mayor factor por el que A estira un vector. Es la norma que está detrás del número de condición de MAT-003.

Ejercicio práctico

Para p = 1/2, definamos d(x, y) = (|x₁ − y₁|^(1/2) + |x₂ − y₂|^(1/2))². Muestra que viola la desigualdad triangular para x = (0, 0), y = (1, 0) y z = (1, 1).

Solución: d(x, y) = (1 + 0)² = 1 y d(y, z) = (0 + 1)² = 1, mientras que d(x, z) = (1 + 1)² = 4. Así que d(x, z) = 4 > 2 = d(x, y) + d(y, z): dar un rodeo por y es más corto que ir directamente. Este único contraejemplo muestra que la fórmula con p = 1/2 no es una norma.

6. Dónde está IX

IX es la biblioteca de aprendizaje automático en Rust del ecosistema GuitarAlchemist. Los hechos siguientes se leen en su código en el commit e35138b9; esta lección documenta ese código y no lo modifica, y no ha ejecutado las pruebas de IX.

Álgebra lineal (crates/ix-math/src/linalg.rs):

matmul y matvec calculan AB y A x, y devuelven DimensionMismatch cuando el número de columnas de A no coincide con el otro operando.
trace suma la diagonal de una matriz cuadrada.
determinant está documentada como «desarrollo en cofactores, adecuado para matrices pequeñas». Su recursión, copiada literalmente de las líneas 43 a 59 de linalg.rs, es el algoritmo del ejercicio del §4:

fn det_recursive(a: &Array2<f64>) -> f64 {
    let n = a.nrows();
    if n == 1 {
        return a[[0, 0]];
    }
    if n == 2 {
        return a[[0, 0]] * a[[1, 1]] - a[[0, 1]] * a[[1, 0]];
    }

    let mut det = 0.0;
    for j in 0..n {
        let minor = minor_matrix(a, 0, j);
        let sign = if j % 2 == 0 { 1.0 } else { -1.0 };
        det += sign * a[[0, j]] * det_recursive(&minor);
    }
    det
}

linalg.rs no tiene ninguna función que devuelva una norma matricial. En ix-math, la norma de Frobenius solo aparece dentro de algoritmos, como criterio de parada, y como función auxiliar de prueba en svd.rs.

Distancias (crates/ix-math/src/distance.rs): euclidean, manhattan y chebyshev son las distancias de las normas 2, 1 e ∞. minkowski calcula la distancia p y rechaza p < 1, como muestran las líneas 46 a 57, copiadas literalmente:

pub fn minkowski(a: &Array1<f64>, b: &Array1<f64>, p: f64) -> Result<f64, MathError> {
    check_same_len(a, b)?;
    if p < 1.0 {
        return Err(MathError::InvalidParameter("p must be >= 1".into()));
    }
    let sum: f64 = a
        .iter()
        .zip(b.iter())
        .map(|(x, y)| (x - y).abs().powf(p))
        .sum();
    Ok(sum.powf(1.0 / p))
}

Esta guarda traduce el §5: rechaza todo p menor que 1, donde la fórmula no es una norma. Sin embargo, deja pasar dos valores no finitos: f64::NAN, porque toda comparación con NaN es falsa, tras lo cual las potencias devuelven NaN en general, que no es una distancia; y p = ∞, como muestra el ejercicio siguiente. Por eso el contraejemplo con p = 1/2 no puede calcularse con la función minkowski de IX, que devuelve un error; es un cálculo a mano, como en el ejercicio del §5.

Las pruebas comprueban ejemplos, no propiedades. test_minkowski_equals_euclidean compara minkowski con p = 2 y euclidean en un solo par de puntos, (0, 0) y (3, 4); las demás pruebas de distancia también usan uno o dos pares fijos cada una. Ninguna prueba de distance.rs enuncia la desigualdad triangular ni otro axioma de norma. En otra parte de IX, test_cpu_triangle_inequality la enuncia para la matriz de distancias euclidianas propia del crate de GPU, pero solo comprueba una terna de puntos. Como explica MAT-001, esos ejemplos pueden refutar una propiedad, pero no demostrarla.

No toda «distancia» es una métrica. cosine_distance devuelve 1 − cos θ, donde θ es el ángulo entre los vectores. No cumple la desigualdad triangular: para x = (1, 0), y = (1, 1) y z = (0, 1), da d(x, z) = 1, pero d(x, y) + d(y, z) = 2 − √2 ≈ 0.59.

Ejercicio práctico

La guarda de minkowski rechaza p < 1, pero deja pasar p = ∞ (f64::INFINITY). Usando las reglas habituales de las potencias en punto flotante —x^0 = 1 para todo x y, para p = ∞, t^p vale 0 cuando 0 ≤ t < 1, 1 cuando t = 1 e ∞ cuando t > 1—, predice qué devuelve minkowski para p = ∞, y compáralo con chebyshev.

Solución: Con p = ∞, cada término |x − y|^p vale 0, 1 o ∞, así que sum vale 0, un entero positivo o ∞. El último paso lo eleva a la potencia 1/p = 1/∞ = 0, y x^0 = 1 para todo x, incluidos 0 e ∞. Así que minkowski devuelve 1 para cualquier par de vectores, incluso para a = b, donde una distancia debe valer 0. El límite de la distancia p cuando p crece es la distancia ∞, pero sustituir p por ∞ en la fórmula no calcula ese límite: chebyshev es la función correcta, y devuelve 0 para a = b y 4 para (0, 0) y (3, 4). Es una predicción deducida de las reglas anteriores, no una ejecución: el experimento del §7 la comprueba.

7. Experimento propuesto (aún no ejecutado)

Estado: no ejecutado. Esta sección propone un experimento para el laboratorio de Learn, que fija IX en el mismo commit. Nada en ella es una medición: las predicciones se escriben antes de cualquier ejecución, y una versión posterior de esta lección informará de los resultados.

La desigualdad triangular en una cuadrícula. Para los 25 puntos de R² con coordenadas enteras de −2 a 2, comprobar d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) en las 15,625 ternas para manhattan, euclidean, chebyshev y minkowski con p = 3. Predicción: ninguna violación mayor que 10^-12. Donde los valores exactos son iguales, el redondeo aún puede hacer que los dos lados difieran en sus últimos bits, por lo que la comparación necesita una tolerancia (MAT-003).
p menor que 1. Llamar a minkowski con p = 1/2 sobre los puntos del ejercicio del §5. Predicción: InvalidParameter("p must be >= 1").
p = ∞. Llamar a minkowski con p = f64::INFINITY sobre (0, 0) y (0, 0), y sobre (0, 0) y (3, 4). Predicción: 1 en ambos casos, frente a 0 y 4 con chebyshev.
p grande. Llamar a minkowski con p = 1000 sobre (0, 0) y (3, 4). Predicción: ∞, porque 3^1000 supera el mayor número binary64, aunque el resultado exacto es algo mayor que 4.
El costo del desarrollo en cofactores. Medir el tiempo de determinant para n = 2 a 11 sobre matrices fijas, y comprobar det(AB) = det A · det B en matrices 3 × 3 con entradas enteras pequeñas. Predicciones: desde n = 3, cada paso multiplica el tiempo por aproximadamente n, como sugiere la cuenta n!/2 del ejercicio del §4; y la regla del producto se cumple exactamente, porque cada valor intermedio es un entero lo bastante pequeño para almacenarse exactamente.

Ejercicio práctico

El paso 1 comprueba cada terna de la cuadrícula. ¿Demuestra la desigualdad triangular para estas distancias en R²?

Solución: No. La cuadrícula tiene 25 puntos, mientras que R² es infinito, así que la comprobación solo es exhaustiva sobre un subconjunto finito (MAT-001). Lo que demuestra la desigualdad es la desigualdad de Minkowski, para todo p ≥ 1. La comprobación prueba otra cosa: que el código de IX calcula estas distancias sin un error tan grande como para romper la desigualdad en esos puntos.

8. Errores comunes

Multiplicar en el orden equivocado. En (AB) x la aplicación B actúa primero, y en general AB ≠ BA.
Llamar «lineal» a cualquier aplicación. Una aplicación lineal envía 0 a 0; una traslación, no.
Calcular determinantes grandes por desarrollo en cofactores. El costo crece como n!; la eliminación cuesta del orden de n³.
Leer un determinante pequeño como «casi singular». det(10^-1 · I₂₀) = 10^-20, y sin embargo esta matriz solo multiplica por 10^-1 y tiene número de condición 1 (MAT-003).
Tomar cualquier fórmula de distancia por una métrica. La fórmula p con 0 < p < 1 y la distancia coseno violan ambas la desigualdad triangular.
Sustituir p por ∞ en una fórmula. Un límite no es un valor de la fórmula: usa la propia norma ∞.

Términos clave

Término	Definición
Espacio vectorial	Un conjunto con una suma y una multiplicación por escalares que cumplen las reglas habituales, como Rⁿ
Base	Una lista de vectores con la que todo vector se escribe como combinación lineal de una única manera
Aplicación lineal	Una aplicación con L(u + v) = L(u) + L(v) y L(c · v) = c · L(v)
Matriz de una aplicación lineal	La matriz cuyas columnas son las imágenes de los vectores de la base
Producto de matrices	La matriz de una composición: (AB) x = A (B x)
Determinante	El factor con signo por el que una matriz cuadrada multiplica los volúmenes; nulo exactamente cuando la matriz no es invertible
Norma	Una función longitud positiva, homogénea y que cumple la desigualdad triangular
Norma p	‖x‖ₚ = (Σ
Desigualdad triangular	‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, o para distancias d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Norma matricial inducida	‖A‖ = max ‖A x‖ / ‖x‖ sobre los x ≠ 0: el mayor factor de estiramiento de A

Autoevaluación

1. ¿Por qué la aplicación x ↦ x + (1, 0) no es lineal?

Una aplicación lineal envía 0 a 0, ya que L(0) = L(0 · 0) = 0 · L(0) = 0. Esta aplicación envía 0 a (1, 0).

2. ¿Por qué el producto de matrices es asociativo pero no conmutativo?

Es la composición de aplicaciones lineales. La composición de funciones siempre es asociativa, así que (AB)C = A(BC). El orden de dos aplicaciones suele importar: la rotación R y la reflexión F del §3 dan RF ≠ FR.

3. Demuestra que ‖x‖∞ ≤ ‖x‖₂ ≤ ‖x‖₁ para todo x de Rⁿ.

Si la mayor componente en valor absoluto es xₖ, entonces ‖x‖∞² = xₖ² ≤ x₁² + … + xₙ² = ‖x‖₂². Y ‖x‖₁² = (|x₁| + … + |xₙ|)² es la suma de los cuadrados xᵢ² más los productos 2|xᵢ||xⱼ|, que son ≥ 0, así que ‖x‖₁² ≥ ‖x‖₂². Tomando raíces cuadradas de estos números no negativos se obtiene el enunciado.

4. La función minkowski de IX rechaza p = 1/2. ¿Es una limitación o una garantía?

Una garantía: por debajo de p = 1 la fórmula no es una norma (§5), y rechazarla deja fuera esos resultados. La guarda no cubre los valores no finitos: deja pasar p = ∞, para el que la fórmula devuelve 1 sean cuales sean los puntos, y f64::NAN, para el que devuelve NaN en general (§6).

Criterio de aprobación: Escribir vectores en una base, construir la matriz de una aplicación lineal, multiplicar matrices y explicar por qué importa el orden, leer un determinante y contar su costo, y usar los axiomas de norma para distinguir una norma de una fórmula que no lo es, incluso en las funciones de distancia de IX.

Base de investigación

S. Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., Springer, 2024: espacios vectoriales, aplicaciones lineales y sus matrices, determinantes
G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 6.ª ed., Wellesley-Cambridge Press, 2023: el producto de matrices como composición, la eliminación, los determinantes y las normas
G. H. Hardy, J. E. Littlewood y G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, 1934: la desigualdad de Minkowski
IEEE Computer Society, IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE Std 754-2019: los valores especiales de la función potencia usados en el §6
Código fuente de IX en el commit e35138b9d4c707d48f802649a7fcb3f7fc94934d: cada hecho de código del §6 enlaza a su línea
Experimento: propuesto en el §7, no ejecutado; esta lección no contiene ninguna medición
Procedencia: redactado a mano por una sesión de Claude Code (Opus 5.5) a partir del plan de currículo de Streeling, no producido por el pipeline de cursos Seldon; en revisión
Estado de creencia: T(0.85) F(0.02) U(0.10) C(0.03)