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Apéndice B: la jerarquía OPTIC

Las lecciones 1 a 4 suben una escalera sin nombrarla. La lección 1 convierte una posición del mástil en una altura, y una altura en una clase de altura. La lección 2 convierte un conjunto de clases de altura en una escala y compara escalas que son transposiciones unas de otras. La lección 4 identifica los conjuntos relacionados por transposición e inversión y llama al resultado una clase de conjuntos. Cada uno de esos pasos olvida algo a propósito, y el orden en que los olvidas es una jerarquía que la teoría musical tiene bautizada.

Callender, Quinn y Tymoczko llaman OPTIC a las cinco equivalencias, en “Generalized Voice-Leading Spaces” (Science, 2008):

equivalencia dos cosas son la misma cuando solo se diferencian en…
O octava mover notas octavas enteras
P permutación el orden de las notas
T transposición mover todo el mismo intervalo
I inversión dar la vuelta a los intervalos
C cardinalidad doblar una nota que ya está

Son independientes: puedes aplicar cualquier subconjunto de ellas, y cada subconjunto nombra un objeto musical distinto. «Acorde» suele ser OPC. «Tipo de escala» es OPTC. «Clase de conjuntos» es OPTIC, las cinco.

Ventana de terminal
dotnet run --project code/music-theory-ga/GaTheory -c Release -- l10

La subida

Sección titulada «La subida»

Empieza por abajo, con algo que puedes hacer de verdad con las manos: el acorde de C abierto, x32010.

== One fingering, climbed rung by rung
rung                       the object                         what it forgets
a fingering                x32010                             nothing: strings, frets, muted strings
the pitches                C3 E3 G3 C4 E4                     which string each note was played on
- O, octave                0 4 7 0 4                          the octave of each note
- P, permutation           0 0 4 4 7                          the order of the notes
- C, cardinality           0 4 7                              doubled notes
- T, transposition         0 4 7                              which key it is in
- I, inversion             (037)                              major against minor

Lee la tercera columna de arriba abajo y tienes el apéndice entero. Una digitación lo sabe todo. Al llegar arriba, lo único que sobrevive es la forma (037): una nota, una nota tres semitonos más arriba, una nota cuatro semitonos por encima de esa, en alguna tonalidad y en cualquiera de los dos sentidos.

Fíjate en lo que no está en la escalera. El primer paso, de x32010 a C3 E3 G3 C4 E4, no es en absoluto una equivalencia OPTIC: es el instrumento. Dos digitaciones distintas que suenan como las mismas cinco alturas son la misma música y distinta guitarra. OPTIC no tiene nada que decir sobre esa diferencia, que es justamente por lo que un programa que trabaja con clases de conjuntos no puede decirte dónde poner los dedos.

Qué tira cada peldaño

Sección titulada «Qué tira cada peldaño»
== What each rung identifies
rung                       distinct objects     of the C major triad
fingerings, frets 0 to 4   63                   ways to play these three pitch classes
pitch multisets            5                    notes sounding in x32010
the pitch-class set        1                    0 4 7
- T: transposition class   1                    one of the 12 major triads
- I: set class             1                    one of the 24 major and minor triads

Sesenta y tres maneras de tocar esas tres clases de altura en los cinco primeros trastes, y los tres primeros peldaños de la escalera las aplastan todas en un solo objeto. Ese es el sentido de una equivalencia, y también su coste: todo lo que le importa a quien toca la guitarra vive por debajo del peldaño donde empieza la escalera.

== How many objects there are at each rung
rung                           course   GA       check
pitch-class sets (P, O, C)     4096     4096     ok
transposition classes (+T)     352      352      ok
set classes (+I)               224      224      ok
cardinalities (+C)             13       13       ok

4096 subconjuntos de doce clases de altura; 352 de ellos salvo transposición; 224 salvo transposición e inversión. El PitchClassSet, el TranspositionClass y el SetClass de GA coinciden con el curso en los tres recuentos, que es la manera que tiene este apéndice de decir que la jerarquía está de verdad en el código.

Dos acordes a la vez

Sección titulada «Dos acordes a la vez»
== The same climb for four chords
chord          pitch classes      transposition class / set class
C              0 4 7              0 4 7  /  (037)
A minor        0 4 9              0 3 7  /  (037)
G              2 7 E              0 4 7  /  (037)
F              0 5 9              0 4 7  /  (037)
C and G are different chords, the same transposition class, the same set class.
C and A minor are different transposition classes and the same set class: I joins them.

C y G son acordes distintos que se encuentran en el peldaño T. C y A menor son clases de transposición distintas que se encuentran en el peldaño I, que es la versión formal del hecho, visto en la lección 5, de que una tonalidad mayor y su relativa menor comparten un conjunto de notas. F y G son otras dos tríadas mayores: el mismo peldaño, el mismo objeto.

El tipo de GA en cada peldaño

Sección titulada «El tipo de GA en cada peldaño»
== GA's types, one per rung
rung                       course                     GA                         check
- O, P, C: a set           id 145: 0 4 7              id 145: 0 4 7              ok
cardinality                3                          3                          ok
- I: prime form            (037)                      (037)                      ok
interval-class vector      <0 0 1 1 1 0>              <0 0 1 1 1 0>              ok
GA's SetClass for this set: SetClass[3 (Tritonic)-<0 0 1 1 1 0>/137]
its Forte number: 3-11
  • PitchClassSet es el objeto que queda tras O, P y C: un id de 12 bits, sin octavas, sin orden, sin duplicados. El error de búsqueda de tonalidad de la lección 7 es una consecuencia directa: un PitchClassSet no puede saber qué nota es la tónica, porque «qué nota va primero» es precisamente lo que tiró P.
  • TranspositionClass añade T: 352 elementos.
  • SetClass añade I: 224 elementos, cada uno con una forma prima, una cardinalidad y un vector interválico.
  • Cardinality es C, conservada como propiedad y no como cociente.

Dos peldaños no tienen tipo, y las dos ausencias reaparecen en otros lugares de este curso. No hay ningún objeto entre una altura y una clase de altura —ninguna «altura con grafía» que sobreviva a un acorde—, que es el problema de grafía de la lección 3. Y no hay nada por debajo de PitchClassSet que conserve el orden de las notas, que es el de la lección 7.

El esquema de embeddings OPTIC-K de GA

Sección titulada «El esquema de embeddings OPTIC-K de GA»

GA usa el mismo vocabulario para el aprendizaje automático. Su esquema de embeddings, documentado en .agent/skills/optic-k-schema-guardian/SKILL.md e implementado en Common/GA.Business.ML/Embeddings/EmbeddingSchema.cs, tiene 216 dimensiones repartidas en particiones con nombre. Dos de ellas son esta escalera, partida por la mitad:

Partición Dimensiones Peso Finalidad, en palabras de GA
STRUCTURE 6-29 0.45 “Pitch-class set invariants (O+P+T+I). Core musical identity.”
MORPHOLOGY 30-53 0.25 “Physical fretboard realization (geometry/fingering).”

STRUCTURE es la cima de la escalera: las cuatro equivalencias y el objeto que sobrevive a ellas, con el peso más alto porque dos voicings de una misma clase de conjuntos son de verdad la misma armonía. MORPHOLOGY es todo lo que la escalera descartó por el camino: qué cuerda, qué traste, qué dedo; el paso de x32010 a C3 E3 G3 C4 E4 que OPTIC no modela.

Ese reparto es el acertado, y vale la pena decir por qué. Una búsqueda que usara solo STRUCTURE devolvería la tríada de C mayor tocada en cualquier parte, incluidos sitios a los que no llega ninguna mano. Una búsqueda que usara solo MORPHOLOGY devolvería formas que se parecen y suenan sin relación. Las dos particiones son las dos mitades de este apéndice, con sus pesos.

Por verificar: los rangos de dimensiones y los pesos anteriores están leídos en el documento de la skill en el commit fijado, cuyo front matter llama al esquema v1.4; el programa del curso no compila GA.Business.ML, así que nada de esto está comprobado ejecutándolo, al contrario que las tablas anteriores.

Subir la escalera a mano

Sección titulada «Subir la escalera a mano»

Dos sitios permiten recorrer con el ratón cada peldaño de este apéndice, y los dos valen una tarde.

El buscador de escalas de Ian Ring es un brazalete de doce cuentas, exactamente el diagrama de la lección 2. Haz clic en las cuentas para construir un conjunto; la página lo nombra y enlaza a su ficha. Sus tres botones son tres peldaños de la escalera:

  • Rotate up y Rotate down aplican T, un semitono cada vez. Rota doce veces y vuelves al punto de partida: esa órbita es la clase de transposición.
  • Reflect aplica I. Si al reflejar obtienes el conjunto que ya tenías, el conjunto es simétrico por inversión y su clase de conjuntos contiene 12 conjuntos en lugar de 24; la colección diatónica, la escala de tonos enteros y la escala octatónica se comportan todas así, que es la sección sobre simetría de la lección 2.
  • El número de la escala es el id de 12 bits de la lección 2, y la página de cada escala da sus modos, su vector interválico y si tiene pareja en relación Z, que es la lección 4.

Es la manera más rápida de comprobar una afirmación de este curso: los recuentos de la lección 2 y los vectores de la lección 4 se pueden confirmar conjunto a conjunto en las páginas de Ring, y así se confirmaron varios de ellos.

Harmonious aborda el mismo material desde el otro extremo. Se presenta como “a map of all chromatic-cluster-free hexatonic, heptatonic, and octotonic scales and modes and their compatible chords (Levine 1995) in twelve-tone equal temperament”, y está organizado por armadura y por acorde en lugar de por número de conjunto. Donde Ring te da el cociente —una página por escala, con las transposiciones colapsadas—, Harmonious te da la fibra: esta tonalidad, estos acordes, estas sustituciones. Entre los dos son las dos direcciones de este apéndice, y ninguno sustituye al otro:

Ian Ring Harmonious
Unidad una clase de conjuntos, sin tonalidad una tonalidad y sus acordes
Peldaños que muestra T e I, como botones por debajo de la escalera: voicings y pares acorde–escala
Va mejor para comprobar un recuento o un vector encontrar una sustitución que puedas tocar
Relación con GA la misma numeración de 12 bits la misma idea de acorde–escala que las lecciones 6 y 7

GA se sitúa entre los dos: SetClass es el objeto de Ring, Voicing y Fretboard están más cerca de los de Harmonious, y el esquema OPTIC-K anterior es un intento deliberado de sostener ambos en un solo vector.

Qué recordar

Sección titulada «Qué recordar»
  • OPTIC son cinco cosas independientes que olvidar, no una sola operación. Decir cuáles has aplicado te dice qué puede responder tu tipo y qué no.
  • Cada uno de los defectos 8, 9, 12 y 19 del apéndice C es un peldaño que se sube y luego una pregunta que necesitaba la información descartada: una grafía después de O, una tónica después de P, un recuento después de C.
  • El instrumento está por debajo del peldaño más bajo. OPTIC no dice nada sobre la digitación, que es la razón de que GA necesite una segunda partición para ella.

Fuentes

Sección titulada «Fuentes»